本文目录

1. 余弦定理海伦公式
2. 海伦公式是如何推导出来的
3. 海伦公式谁发明的
4. 海伦公式推导
5. 什么叫做海伦公式

一、余弦定理海伦公式

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

二、海伦公式是如何推导出来的

推导:

若ΔABC的三边长为a.b.c.则

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

证明:设边c上的高为h.则有

√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c

√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)

两边平方.化简得:

2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2

两边平方.化简得:

h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))

SΔABC=ch/2

=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2

仔细化简一下.得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4。

三、海伦公式谁发明的

早在千年以前的古希腊时期，就有人传说，数学家阿基米德就曾经得出了海伦公式，但是有资料显示的海伦公式最早是出现在海伦的著作《测地术》之中，所以就将这个公式称之为海伦公式，我国的秦九韶得出的三斜求积术与海伦公式十分的类似。虽然三斜求积术在形式上与海伦公式不太一样，但是其是与海伦公式等价的，从这里也可以看出我国古代时就有着十分高的数学研究。

四、海伦公式推导

证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-"从a左则向右经过a.b.c".负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!)

证明:设边c上的高为h.则有

√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c

√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)

两边平方.化简得:

2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2

两边平方.化简得:

h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))

SΔABC=ch/2

=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2

仔细化简一下.得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

用三角函数证明!

证明:

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)

∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)

∴代入(1)式.(仔细)化简得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

五、什么叫做海伦公式

海伦公式是一个用来计算三角形面积的公式，通过三角形的半周长来计算面积的，所以称之为海伦公式。公式为：S=√（P（P一a）（P一b）（P一C））12。